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107 台灣大學微積分(C) 第 6 題

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107學年度 · 107台大微積分C · 第 6 題

題目

6. When x3+y3+z3−3xyz=1x^3+y^3+z^3-3xyz=1, derive ∂z/∂x\partial z/\partial x and ∂z/∂y\partial z/\partial y.

解答

解法一

思路

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將左側視為 F(x,y,z)=1F(x,y,z)=1。固定另一個自變數後作隱函數微分，最後解出所求偏導數。

答題過程

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令

F(x,y,z)=x3+y3+z3−3xyz.F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz.

固定 yy 對 xx 微分，得到

3x2+3z2∂z∂x−3yz−3xy∂z∂x=0.3x^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial x} -3yz-3xy\frac{\partial z}{\partial x}=0.

因此

∂z∂x=−x2−yzz2−xy.\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^2-yz}{z^2-xy}}.

同理，固定 xx 對 yy 微分：

3y2+3z2∂z∂y−3xz−3xy∂z∂y=0,3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y} -3xz-3xy\frac{\partial z}{\partial y}=0,

故

∂z∂y=−y2−xzz2−xy.\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y^2-xz}{z^2-xy}}.