題目

5. Consider

y=x/(1+kx)

, which is a family of hyperbolas. Find its orthogonal trajectories.

解答

展開

先消去參數 $k$ ，微分得到原族曲線的斜率；正交軌跡的斜率是負倒數，最後分離變數積分。

展開

由

y=\frac{x}{1+kx}

整理得

\frac1y-\frac1x=k.

對 $x$ 微分，因 $k$ 為常數，

-\frac{y'}{y^2}+\frac1{x^2}=0,

即原曲線族的斜率為 $y'=\frac{y^2}{x^2}$ 。正交軌跡應滿足

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x^2}{y^2}.

分離變數並積分：

y^2\,\mathrm{d}y=-x^2\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^3+y^3=C}.