題目

10.

\Omega=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\ge 3\}

. Find

\iint_{\Omega} e^{-x}e^{-y}\,dxdy

解答

展開

區域由第一象限中直線 $x+y=3$ 上方構成。先按 $x$ 分成 $0\le x\le3$ 與 $x\ge3$ ，即可直接積分。

展開

當 $0\le x\le3$ 時， $y\ge3-x$ ；當 $x\ge3$ 時， $y\ge0$ 。所以

\begin{align*} \iint_\Omega e^{-x}e^{-y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =&\,\int_0^3e^{-x}\left(\int_{3-x}^{\infty}e^{-y}\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\[4mm] &\,+\int_3^{\infty}e^{-x}\left(\int_0^{\infty}e^{-y}\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_0^3e^{-3}\,\mathrm{d}x+\int_3^{\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,3e^{-3}+e^{-3}. \end{align*}

故所求積分為

\boxed{4e^{-3}}.