題目

Problem

Part II Fill in the blanks

Let $f(x)=\arctan(x^2)+\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ . The graph of $f$ has a horizontal asymptote represented by the equation $\underline{\quad(8)\quad}$ and the global minimum value of $f$ is $\underline{\quad(9)\quad}$ .

解答

展開

先由兩端極限找水平漸近線，再用導數的正負判斷全域最小值。注意函數只含 $x^2$ ，故左右兩側行為對稱。

展開

當 $x\to\pm\infty$ 時， $\arctan(x^2)\to\frac\pi2$ ，且

\frac{x^2-1}{x^2+1}\longrightarrow1.

因此水平漸近線為

\boxed{y=1+\frac\pi2}.

再微分得

f'(x)=\frac{2x}{1+x^4}+\frac{4x}{(x^2+1)^2} =2x\left(\frac1{1+x^4}+\frac2{(x^2+1)^2}\right).

括號內恆正，所以 $f'(x)$ 在 $x<0$ 時為負、在 $x>0$ 時為正。故 $x=0$ 是全域最小點，

f(0)=\arctan0+\frac{-1}{1}=\boxed{-1}.