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107 台灣大學微積分(B) 第 6 題

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107學年度 · 107台大微積分B · 第 6 題

題目

Problem

Part II Fill in the blanks

  1. lim⁡n→∞12+22+⋯+n2(1+2+⋯+n)2=(6)‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n})^2}=\underline{\quad(6)\quad}.

解答

解法一

思路

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分子與分母都是和式，先用黎曼和取得其最高次漸近量，再比較 n3n^3 的係數。

答題過程

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分子有精確公式

12+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6∼13n3.1^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\sim\frac13n^3.

另一方面，

1n3/2∑k=1nk=1n∑k=1nkn⟶∫01t dt=23.\frac1{n^{3/2}}\sum_{k=1}^n\sqrt{k} =\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}} \longrightarrow\int_0^1\sqrt{t}\,\mathrm{d}t=\frac23.

故 ∑k=1nk∼23n3/2\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\sim\frac23n^{3/2}，原極限為

13n3(23n3/2)2=34.\frac{\frac13n^3}{\bigl(\frac23n^{3/2}\bigr)^2}=\boxed{\frac34}.