題目

Problem

Part I Multiple Choice

(a) The series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\cos(n\pi)\sin\frac{1}{n}$ is absolutely convergent.

(b) The series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n)\frac{n^2+1}{5^n}$ is absolutely convergent.

Among the above three statements, how many of them are true?

A) Only one.

B) Only two.

C) All of them.

D) None of them.

解答

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絕對收斂要檢查絕對值級數。第一句先看一般項是否趨於零；第二句以幾何級數控制；第三句用對數型 $p$ -級數判別。

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(a) 因為 $\cos(n\pi)=(-1)^n$ ，其絕對值一般項為

n\sin\frac1n\longrightarrow1\ne0.

故級數連收斂的必要條件都不滿足，並非絕對收斂。

(b) 有

\left|\sin n\frac{n^2+1}{5^n}\right|\le\frac{n^2+1}{5^n}.

右側是多項式乘幾何衰減的收斂級數，故此句正確。

(c) 取絕對值後為

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\ln n)^{\sqrt2-1}}.

此對數型級數只有在對數冪次大於 $1$ 時才收斂；但 $\sqrt2-1<1$ ，故發散。

僅 (b) 正確，選 A。