題目 Problem 1−13+15−17+19−111+⋯=?1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\cdots=?1−31+51−71+91−111+⋯=? (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 這正是 arctanx\arctan xarctanx 的麥克勞林級數在 x=1x=1x=1 的值。 答題過程 展開 對 ∣x∣≤1|x|\le1∣x∣≤1， arctanx=x−x33+x55−x77+⋯ .\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots.arctanx=x−3x3+5x5−7x7+⋯. 代入 x=1x=1x=1，左邊為 arctan1=π/4\arctan1=\pi/4arctan1=π/4，故級數和為 π4\boxed{\frac\pi4}4π。
