題目 Problem Find the arc length determined by the curve y=112x3+1xy=\dfrac{1}{12}x^3+\dfrac{1}{x}y=121x3+x1 over 1≤x≤21\le x\le 21≤x≤2. (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 先求導；本題的根號可恰好化成完全平方，故弧長積分很簡潔。 答題過程 展開 y′=x24−1x2.y'=\frac{x^2}{4}-\frac1{x^2}.y′=4x2−x21. 因 1≤x≤21\le x\le21≤x≤2， 1+(y′)2=(x24+1x2)2.1+(y')^2=\left(\frac{x^2}{4}+\frac1{x^2}\right)^2.1+(y′)2=(4x2+x21)2. 因此 L= ∫12(x24+1x2) dx= [x312−1x]12= 1312.\begin{align*} L =&\,\int_1^2\left(\frac{x^2}{4}+\frac1{x^2}\right)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\left[\frac{x^3}{12}-\frac1x\right]_1^2 \\ =&\,\boxed{\frac{13}{12}}. \end{align*}L===∫12(4x2+x21)dx[12x3−x1]121213.
