微積分福音

106 台灣大學微積分(C) 第 10 題

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106學年度 · 106台大微積分C · 第 10 題

題目

Problem

$y=f(x)$ satisfies $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2^{\frac{y}{x}}$ . When $x=1$ , $y=2$ , what is $f(x)$ ? $(10\%)$

解答

解法一

思路

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右邊只含 $y/x$ ，是齊次微分方程；令 $v=y/x$ 。
積分沒有初等反導函數，因此以滿足初始條件的隱式關係完整表示解。

答題過程

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令 $y=vx$ ，則 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ 。題設化為

x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=2^v-v.

在經過 $(1,2)$ 的解附近， $v(1)=2$ ，分離變數後積分：

\int_2^{y/x}\frac{\mathrm{d}u}{2^u-u}=\int_1^x\frac{\mathrm{d}s}{s}=\ln x.

故 $f(x)$ 由下列隱式式唯一決定：

\boxed{\displaystyle\int_2^{f(x)/x}\frac{\mathrm{d}u}{2^u-u}=\ln x}.