題目

Problem

Part I Multiple Choice

(A) $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(1-\cos\dfrac{1}{n}\right)$ is absolutely convergent.

(B) $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n-\ln n}$ is convergent.

(D) $\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)$ is divergent.

解答

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對 (A)，利用 $1-\cos u\sim u^2/2$ ，有

1-\cos\frac1n\sim\frac1{2n^2}.

故其絕對值級數可和 $\sum1/n^2$ 比較，必收斂，所以 (A) 正確。

對 (B)，

\frac{1/(n-\ln n)}{1/n}=\frac{n}{n-\ln n}\longrightarrow1,

故與調和級數同收斂性，實際發散。對 (C)，

\frac1{n^{1+1/n}}=\frac1n\cdot\frac1{n^{1/n}}, \qquad n^{1/n}\to1,

也與調和級數同階而發散。

最後，

\ln\frac{n+1}{n-1} =&\,\ln\left(1+\frac2{n-1}\right)\sim\frac2n,

所以 (D) 的一般項約為 $2/n^2$ ，應收斂，並非發散。

因此答案為 $\boxed{\text{A}}$ 。