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106 台灣大學微積分(B) 第 4 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 4 題

題目

Problem

Part I Multiple Choice

(A) ∫−ππsin⁡mxsin⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,\mathrm{d}x=0 for all m,n∈Nm,n\in\mathbb{N}.

(B) ∫−ππsin⁡mxcos⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,\mathrm{d}x=0 for all m,n∈Nm,n\in\mathbb{N}.

(C) ∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm{d}x=0 for all m,n∈Nm,n\in\mathbb{N}.

(D) ∫−ππsin⁡mxcos⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\sin^m x\cos^n x\,\mathrm{d}x=0 for all m,n∈Nm,n\in\mathbb{N}.

解答

解法一

思路

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  • 在對稱區間上，奇函數的積分為 00。
  • 對其他全稱敘述，只要選取合適的 m,nm,n 找到反例即可。

答題過程

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sin⁡(mx)\sin(mx) 是奇函數，cos⁡(nx)\cos(nx) 是偶函數，所以

sin⁡(mx)cos⁡(nx)\sin(mx)\cos(nx)

是奇函數。因此在對稱區間 [−π,π][-\pi,\pi] 上，

∫−ππsin⁡(mx)cos⁡(nx) dx=0.\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,\mathrm{d}x=0.

故 (B) 正確。

其餘選項並非對所有 m,nm,n 都成立。例如在 (A)、(C) 中取 m=nm=n，被積函數分別為 sin⁡2(mx)\sin^2(mx)、cos⁡2(mx)\cos^2(mx)，積分皆為正值；在 (D) 中取 m=n=2m=n=2，被積函數為 sin⁡2xcos⁡2x≥0\sin^2x\cos^2x\ge0 且不恆為零，積分也大於 00。

所以答案為 B\boxed{\text{B}}。