CalcGospel 微積分福音
返回

105 台灣大學微積分(B) 第 9 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

105學年度 · 105台大微積分B · 第 9 題

題目

Problem

(I) Let u=u(x,y)u=u(x,y) be a function of x,yx,y. Express ∂u∂x\dfrac{\partial u}{\partial x} in terms of polar coordinates r,θr,\theta together with ∂u∂r\dfrac{\partial u}{\partial r} and ∂u∂θ\dfrac{\partial u}{\partial \theta}. Answer: (10)‾\underline{\quad(10)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  • 把 uu 視為 u(r(x,y),θ(x,y))u(r(x,y),\theta(x,y))，直接用多變數鏈鎖規則。

答題過程

展開

由 rx=cos⁡θr_x=\cos\theta、θx=−sin⁡θr\theta_x=-\frac{\sin\theta}{r}，

∂u∂x=cos⁡θ∂u∂r−sin⁡θr∂u∂θ.\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}}.