105 台灣大學微積分(B) 第 6 題

題目

Problem

(F) Find the solution of the differential equation $y'=(1+2x)(1+y^2)$ with the initial condition $y(0)=1$ . Answer: $\underline{\quad(7)\quad}$ .

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$\frac{\mathrm{d}y}{1+y^2}=(1+2x)\,\mathrm{d}x.$

因此 $\arctan y=x+x^2+C$ 。由 $y(0)=1$ 得 $C=\frac\pi4$ ，所以

$\boxed{y=\tan\left(x+x^2+\frac\pi4\right)}.$