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105 台灣大學微積分(B) 第 5 題

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105學年度 · 105台大微積分B · 第 5 題

題目

Problem

(E) Find the arc length of the curve y=∫0xsin⁡t dty=\int_0^x\sqrt{\sin t}\,\mathrm{d}t from x=0x=0 to x=π/3x=\pi/3. Answer: (6)‾\underline{\quad(6)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 先由微積分基本定理求 y′y'，再用弧長公式。

答題過程

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y′=sin⁡x,L=∫0π/31+sin⁡x dx.y'=\sqrt{\sin x},\qquad L=\int_0^{\pi/3}\sqrt{1+\sin x}\,\mathrm{d}x.

在此區間 1+sin⁡x=sin⁡x2+cos⁡x2\sqrt{1+\sin x}=\sin\frac x2+\cos\frac x2，故

L=[−2cos⁡x2+2sin⁡x2]0π/3=3−3.L=\left[-2\cos\frac x2+2\sin\frac x2\right]_0^{\pi/3}=\boxed{3-\sqrt3}.