CalcGospel 微積分福音
返回

105 台灣大學微積分(B) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

105學年度 · 105台大微積分B · 第 10 題

題目

Problem

(J) Find the directional derivative of f(x,y,z)=xyz2f(x,y,z)=x^y z^2 at the point (e,e,1)(e,e,1) in the direction u=313i+1213j+413k\mathbf{u}=\dfrac{3}{13}\mathbf{i}+\dfrac{12}{13}\mathbf{j}+\dfrac{4}{13}\mathbf{k}. Answer: (11)‾\underline{\quad(11)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  • 先以對數微分取得三個偏導數，再和指定單位向量內積。

答題過程

展開

令 f=xyz2f=x^yz^2。由對數微分，fx=fyxf_x=f\frac yx、fy=fln⁡xf_y=f\ln x、fz=f2zf_z=f\frac2z。在 (e,e,1)(e,e,1)，∇f=ee(1,1,2)\nabla f=e^e(1,1,2)，故

Duf=∇f⋅u=23ee13.D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=\boxed{\frac{23e^e}{13}}.