題目 7. (8%) y=tanx, 0≤x≤π4y=\tan x,\ 0\le x\le \dfrac{\pi}{4}y=tanx, 0≤x≤4π 與 xxx-軸所夾區域繞 xxx-軸旋轉的旋轉體體積 === **__**。 解答 解法一 思路 繞 xxx 軸旋轉時，垂直於旋轉軸的截面是半徑為 y=tanxy=\tan xy=tanx 的圓盤。 用圓盤法把每個截面面積 πtan2x\pi\tan^2xπtan2x 積分即可。 答題過程 展開 旋轉體體積為 V= π∫0π/4tan2x dx= π∫0π/4(sec2x−1) dx= π[tanx−x]0π/4= π(1−π4).\begin{align*} V=&\,\pi\int_0^{\pi/4}\tan^2x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\pi\int_0^{\pi/4}(\sec^2x-1)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\pi\big[\tan x-x\big]_0^{\pi/4}\\[4mm] =&\,\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right). \end{align*}V====π∫0π/4tan2xdxπ∫0π/4(sec2x−1)dxπ[tanx−x]0π/4π(1−4π). 故體積為 π(1−π4)\boxed{\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)}π(1−4π)。
