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104 台灣大學微積分(C) 第 5 題

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104學年度 · 104台大微積分C · 第 5 題

題目

5. (8%) f(x,y)=x2−y2x2+y2f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}，在 (−1,1)(-1,1) 點的所有方向導數（directional derivative）的最大值是 **__**。

解答

解法一

思路

  • 在函數可微的點，單位方向的方向導數最大值就是梯度長度。
  • 因此只要算出 ∇f(−1,1)\nabla f(-1,1)，再取它的長度即可。

答題過程

展開

∇f(x,y)=(4xy2(x2+y2)2,−4x2y(x2+y2)2).\nabla f(x,y)=\left(\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2},-\frac{4x^2y}{(x^2+y^2)^2}\right).

故

∇f(−1,1)=(−1,−1).\nabla f(-1,1)=(-1,-1).

若 u\mathbf{u} 是單位向量，則 Duf=∇f⋅u≤∥∇f∥D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}\le\|\nabla f\|，等號在 u\mathbf{u} 與梯度同方向時成立。因此最大方向導數為

∥∇f(−1,1)∥=2.\boxed{\|\nabla f(-1,1)\|=\sqrt2}.