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104 台灣大學微積分(B) 第 8 題

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104學年度 · 104台大微積分B · 第 8 題

題目

Problem

一、填充題

  1. 已知三維向量場
F=(2xx2+y2)i+(2yx2+y2−2ze−2y)j+e−2yk\mathbf{F}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{2y}{x^2+y^2}-2ze^{-2y}\right)\mathbf{j}+e^{-2y}\mathbf{k}

為保守場，則其所有可能的 potential function 為 (8a)‾\underline{\quad(8a)\quad}（4 分）。令參數曲線 C:r(t)=t i+πcos⁡t j+πsin⁡t kC:r(t)=t\,\mathbf{i}+\pi\cos t\,\mathbf{j}+\pi\sin t\,\mathbf{k}，0≤t≤π20\le t\le \dfrac{\pi}{2}，且 T\mathbf{T} 為 CC 上的單位切向量，則線積分

∫CF⋅T ds=∫CF⋅dr=(8b)‾\int_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\,\mathrm{d}s=\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\underline{\quad(8b)\quad}

（4 分）。

解答

解法一

思路

  • 保守場的位勢函數可逐分量積分，再以端點位勢差計算線積分。

答題過程

展開

由 ϕx=2x/(x2+y2)\phi_x=2x/(x^2+y^2)，再對照 ϕy,ϕz\phi_y,\phi_z，可得

ϕ(x,y,z)=ln⁡(x2+y2)+ze−2y+C.\phi(x,y,z)=\ln(x^2+y^2)+ze^{-2y}+C.

端點為 r(0)=(0,π,0)r(0)=(0,\pi,0)、r(π/2)=(π/2,0,π)r(\pi/2)=(\pi/2,0,\pi)，故

∫CF⋅dr=ϕ(π2,0,π)−ϕ(0,π,0)=π−ln⁡4.\int_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =\phi\left(\frac\pi2,0,\pi\right)-\phi(0,\pi,0)=\boxed{\pi-\ln4}.