題目 Problem 一、填充題 令 f(x)=∫x2x5sin(t3) dtf(x)=\int_{x^2}^{x^5}\sin(t^3)\,\mathrm{d}tf(x)=∫x2x5sin(t3)dt 則 (f(−1),f′(−1))=(2)‾(f(-1),f'(-1))=\underline{\quad(2)\quad}(f(−1),f′(−1))=(2)。（8 分） 解答 解法一 思路 先代入 x=−1x=-1x=−1；再對變動上下限的積分用微積分基本定理與鏈鎖規則微分。 答題過程 展開 因為 sin(t3)\sin(t^3)sin(t3) 是奇函數，f(−1)=∫1−1sin(t3) dt=0f(-1)=\int_1^{-1}\sin(t^3)\,\mathrm{d}t=0f(−1)=∫1−1sin(t3)dt=0。 f′(x)=5x4sin(x15)−2xsin(x6).f'(x)=5x^4\sin(x^{15})-2x\sin(x^6).f′(x)=5x4sin(x15)−2xsin(x6). 故 f′(−1)=−5sin1+2sin1=−3sin1f'(-1)=-5\sin1+2\sin1=-3\sin1f′(−1)=−5sin1+2sin1=−3sin1，答案為 (0,−3sin1).\boxed{(0,-3\sin1)}.(0,−3sin1).
