題目

2. (15%) Find the extreme values of

f(x)=x^x

for

x>0

解答

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因為 $x>0$ ，可寫成

f(x)=x^x=\exp(x\ln x).

對 $x$ 微分：

f'(x)=x^x(\ln x+1).

又 $x^x>0$ ，故 $f'(x)$ 的正負完全由 $\ln x+1$ 決定。臨界點滿足

\ln x+1=0,

即 $x=e^{-1}$ 。因此

\begin{cases} f'(x)<0, & 0<x<e^{-1},\\ f'(x)>0, & x>e^{-1}. \end{cases}

所以函數先遞減後遞增，在 $x=e^{-1}$ 取得極小值：

f\big(e^{-1}\big)=\big(e^{-1}\big)^{e^{-1}}=e^{-1/e}.

此外，當 $x\to\infty$ 時， $x^x\to\infty$ ，故沒有極大值。結論是絕對最小值為 $\boxed{e^{-1/e}}$ ，發生在 $\boxed{x=e^{-1}}$ 。