題目 Problem （壹）填充題 若 g(x)g(x)g(x) 為 f(x)=x3+3x+1f(x)=x^3+3x+1f(x)=x3+3x+1 的反函數，則 g′(15)=(3a)‾g'(15)=\underline{\quad(3a)\quad}g′(15)=(3a)，g′′(15)=(3b)‾g''(15)=\underline{\quad(3b)\quad}g′′(15)=(3b)。 解答 解法一 思路 展開 先找出使 f(x)=15f(x)=15f(x)=15 的原像，再用反函數一、二階導數公式。 答題過程 展開 因 f(2)=15f(2)=15f(2)=15，故 g(15)=2g(15)=2g(15)=2。而 f′(x)=3x2+3,f′′(x)=6x.f'(x)=3x^2+3, \qquad f''(x)=6x.f′(x)=3x2+3,f′′(x)=6x. 因此 g′(15)=1f′(2)=115,g'(15)=\frac1{f'(2)}=\boxed{\frac1{15}},g′(15)=f′(2)1=151, 且 g′′(15)=−f′′(2)[f′(2)]3=−12153=−41125.g''(15)=-\frac{f''(2)}{[f'(2)]^3} =-\frac{12}{15^3} =\boxed{-\frac4{1125}}.g′′(15)=−[f′(2)]3f′′(2)=−15312=−11254.
