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102 台灣大學微積分(C) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

102學年度 · 102台大微積分C · 第 10 題

題目

Problem

(J). Let f(x,y)=1(x2y2−4x+3y+1)2f(x,y)=\dfrac{1}{(x^2y^2-4x+3y+1)^2} and g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), where

x(u,v)=u2−3uv+2v2x(u,v)=u^2-3uv+2v^2

and

y(u,v)=u4+3uv3−4v4y(u,v)=u^4+3uv^3-4v^4

Find ∂g∂u\dfrac{\partial g}{\partial u} at the point u=1u=1 and v=1v=1. Answer. (11)‾\underline{\quad(11)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 先代入 (u,v)=(1,1)(u,v)=(1,1) 求對應的 (x,y)(x,y) 及 xu,yux_u,y_u,再用二變數連鎖規則。

答題過程

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在 (u,v)=(1,1)(u,v)=(1,1),有 x=0,y=0x=0,y=0、xu=−1,yu=7x_u=-1,y_u=7。令 h=x2y2−4x+3y+1h=x^2y^2-4x+3y+1,則 f=h−2f=h^{-2},故 h=1h=1 且

∂g∂u=−2h−3(hxxu+hyyu)=−2((−4)(−1)+3⋅7)=−50.\frac{\partial g}{\partial u} =-2h^{-3}\bigl(h_xx_u+h_yy_u\bigr) =-2\bigl((-4)(-1)+3\cdot7\bigr) =\boxed{-50}.