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102 台灣大學微積分(B) 第 12 題

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102學年度 · 102台大微積分B · 第 12 題

題目

Problem

二、多選題

  1. 當 f(x,y)=3x2y+y3+6xyf(x,y)=3x^2y+y^3+6xy，請問下列哪些選項是正確的？

(A) ∂f(x,y)∂x=6xy+6y\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6xy+6y

(B) ∇f(x,y)=(0,0)\nabla f(x,y)=(0,0) 的解只有四個。

(C) f(x,y)f(x,y) 的局部極大發生在 (0,0)(0,0)。

(D) (−2,0)(-2,0) 為 f(x,y)f(x,y) 的鞍點 (saddle point)。

(E) fxxfyy−fxyfxy=6y2−(x+1)2f_{xx}f_{yy}-f_{xy}f_{xy}=6y^2-(x+1)^2。

解答

解法一

思路

展開
  • 先解兩個一階偏導數為零，核對臨界點數目。
  • 用 Hessian 判別式判斷 (0,0)(0,0) 與 (−2,0)(-2,0) 的局部型態，也同時檢驗 (E) 的係數。

答題過程

展開 fx=6y(x+1),fy=3x2+3y2+6x.f_x=6y(x+1),\qquad f_y=3x^2+3y^2+6x.

解 ∇f=0\nabla f=0 得 (0,0),(−2,0),(−1,1),(−1,−1)(0,0),(-2,0),(-1,1),(-1,-1) 共四點，故 (A)、(B) 正確。Hessian 行列式為 36[y2−(x+1)2]36[y^2-(x+1)^2]；(0,0)(0,0) 與 (−2,0)(-2,0) 都是鞍點，故 (C)、(E) 錯而 (D) 對。答案為 (A)、(B)、(D)\boxed{\text{(A)、(B)、(D)}}。