CalcGospel 微積分福音
返回

101 台灣大學微積分(C) 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

101學年度 · 101台大微積分C · 第 3 題

題目

3. Use Lagrange multiplier or any other method to find the maximum and minimum of f(x,y)=x3+y3+3xyf(x,y)=x^3+y^3+3xy in the closed unit disk x2+y2≤1x^2+y^2\le 1. (20/100)(20/100)

解答

解法一

思路

展開
  • 閉單位圓盤是緊集，連續函數一定取得最大、最小值；需同時檢查內部臨界點和圓周邊界。
  • 在邊界以 s=x+ys=x+y 表示函數值，可把二變數限制問題化成一元區間極值。

答題過程

展開

內部臨界點滿足

fx=3x2+3y=0,fy=3y2+3x=0.f_x=3x^2+3y=0,\qquad f_y=3y^2+3x=0.

在圓盤內只有 (0,0)(0,0)，其函數值為 00。

邊界上 x2+y2=1x^2+y^2=1。令 s=x+ys=x+y、p=xyp=xy，則 p=(s2−1)/2p=(s^2-1)/2，且 −2≤s≤2-\sqrt2\le s\le\sqrt2。利用

x3+y3=s(1−p),x^3+y^3=s(1-p),

得到

f=−s3+3s2+3s−32.f=\frac{-s^3+3s^2+3s-3}{2}.

其導數為 −32(s2−2s−1)-\frac32(s^2-2s-1)。區間內的臨界值是 s=1−2s=1-\sqrt2；連同兩端點比較，

f(1−2)= 1−22,f(−2)= 3−22,f(2)= 3+22.\begin{align*} f(1-\sqrt2)=&\,1-2\sqrt2,\\[4mm] f(-\sqrt2)=&\,\frac{3-\sqrt2}{2},\\[4mm] f(\sqrt2)=&\,\frac{3+\sqrt2}{2}. \end{align*}

因此最大值是

3+22,發生於 (12,12).\boxed{\frac{3+\sqrt2}{2}},\qquad \text{發生於 }\boxed{\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)}.

最小值是

1−22,\boxed{1-2\sqrt2},

發生於兩點

(1−2±22−12,1−2∓22−12).\boxed{\left(\frac{1-\sqrt2\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}2, \frac{1-\sqrt2\mp\sqrt{2\sqrt2-1}}2\right)}.