微積分福音

101 台灣大學微積分(B) 第 9 題

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101學年度 · 101台大微積分B · 第 9 題

題目

Problem

(9) 空間曲面 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=1$ 圍成一區域，試求該區域之體積。

解答

解法一

思路

展開

曲面和座標平面對稱，只需計算第一卦限體積後乘以 $8$ 。
令 $x=u^3$ 、 $y=v^3$ 、 $z=w^3$ ，可把邊界化成單位球的第一卦限，再以球坐標積分。

答題過程

展開

在第一卦限令

x=u^3,\qquad y=v^3,\qquad z=w^3.

則 $u,v,w\ge0$ ，區域化為 $u^2+v^2+w^2\le1$ ，且

\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=27u^2v^2w^2\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w.

再取球坐標 $u=\rho\sin\varphi\cos\theta$ 、 $v=\rho\sin\varphi\sin\theta$ 、 $w=\rho\cos\varphi$ ，得到

\begin{align*} V =&\,8\cdot27\int_0^1\rho^8\,\mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\sin^5\varphi\cos^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,8\cdot27\cdot\frac19\cdot\frac8{105}\cdot\frac\pi{16} =\boxed{\frac{4\pi}{35}}. \end{align*}