題目

Problem

(8) 令 $E$ 為包含直線

\begin{cases} x=t\\ y=t \qquad t\in\mathbb{R}\\ z=-t+1 \end{cases}

及點 $(1,0,0)$ 的平面， $E$ 上有一以 $(0,-1,1)$ 為圓心、半徑為 1 之圓 $C$ 。試問點 $P(0,0,-3)$ 到圓 $C$ 上那一點的距離最長？到圓 $C$ 上那一點的距離最短？

解答

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直線上一點為 $(0,0,1)$ ，方向向量為 $(1,1,-1)$ ；連到 $(1,0,0)$ 的向量為 $(1,0,-1)$ 。兩者叉積為 $(-1,0,-1)$ ，故平面為

E:\quad x+z-1=0.

圓心 $O=(0,-1,1)$ 在此平面內。令 $H$ 為 $P=(0,0,-3)$ 到平面的垂足，則沿法向量計算得

H=(2,0,-1),\qquad PH=2\sqrt2,\qquad OH=3.

圓上離 $P$ 最近、最遠的點都在平面內的直線 $OH$ 上。因

\frac{\overrightarrow{OH}}{|OH|}=\frac13(2,1,-2),

最近點與最遠點分別為

\begin{align*} Q_{\min}=&\,O+\frac13(2,1,-2)=\left(\frac23,-\frac23,\frac13\right),\\[4mm] Q_{\max}=&\,O-\frac13(2,1,-2)=\left(-\frac23,-\frac43,\frac53\right). \end{align*}

由直角三角形 $POH$ ， $;PO=\sqrt{(2\sqrt2)^2+3^2}=\sqrt{17}$ 。故距離的最小、最大值分別是 $\sqrt{17}-1$ 與 $\sqrt{17}+1$ ；題目所問的圓上點為上述 $Q_{\min}$ 、 $Q_{\max}$ 。