題目
Problem
(3) 假設台北 101 大樓在高度 250 公尺處有一探照燈,在大樓前方 100 公尺處,有一架直升機在高度 190 公尺的空中投下一物體。物體自由落下,物體在地面的影子隨之移動,則在落下 (3a) 秒時,影子移動速率最快,此時速率為 (3b)。(以 g=10 m2/sec 計算之。)
題目勘誤
官方原題:指定「以 g=10 m2/sec 計算之」。
實際上應為:重力加速度的單位應為 m/sec2。
本頁保留官方原題,解答依正確的自由落體關係 h=190−21gt2 處理。
解答
解法一
思路
展開
- 先用自由落體公式寫出物體離地高度。
- 探照燈、物體和影子形成兩個相似三角形,因此可把影子的位置表示成時間函數;再最大化其速率。
答題過程
展開
物體高度為 h=190−5t2。由探照燈、物體與影子的相似三角形,影子到大樓的距離為
s(t)=250−h100⋅250=12+t25000.
因此影子速率為
dtds=(12+t2)210000t.
對 t≥0 微分,分子的符號由 12−3t2 決定,故最大值發生於 t=2。此時
(12+4)210000⋅2=8625.
所以
(3a)=2 秒,(3b)=8625 m/sec.