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101 台灣大學微積分(B) 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

101學年度 · 101台大微積分B · 第 1 題

題目

Problem

(壹)填充題:請標明題號及格號,並依序作答。共 6 題,每題 10 分,計 60 分。(一題兩格者,每格 5 分)

(1) 令函數 y=cos⁡xy=\cos x 之圖形與三直線 x=−ax=-a、x=0x=0、x=ax=a(0<a<π0<a<\pi)的交點分別為 A,B,CA,B,C,PP 為三角形 ABCABC 之外心(外接圓圓心),QQ 為三角形 ABCABC 之內心(內切圓圓心)。當 a→0+a\to 0^+ 時,點 PP 的極限位置座標為 (1a)‾\underline{\quad(1a)\quad};QQ 的極限位置座標為 (1b)‾\underline{\quad(1b)\quad}。

解答

解法一

思路

展開
  • 圖形與三條直線形成的三角形關於 yy 軸對稱,所以外心與內心都在 yy 軸上。
  • 分別利用「到三個頂點等距」與「內心座標按對邊長加權」,再取 a→0+a\to0^+ 的極限。

答題過程

展開

三角形關於 yy 軸對稱,兩個圓心皆在 yy 軸。設外心為 (0,p)(0,p),由 PA=PBPA=PB 得

p=sin⁡2a−a22(1−cos⁡a)⟶0.p=\frac{\sin^2a-a^2}{2(1-\cos a)} \longrightarrow0.

內心的 yy 座標以對邊長加權;令 s=a2+(1−cos⁡a)2s=\sqrt{a^2+(1-\cos a)^2},則

yQ=a+scos⁡aa+s⟶1.y_Q=\frac{a+s\cos a}{a+s}\longrightarrow1.

因此 (1a)=(0,0),(1b)=(0,1)\boxed{(1a)=(0,0),\quad(1b)=(0,1)}。