題目

10. 令

I

代表下列積分

\int_0^2\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx.

請問下列哪些選項是正確的？

(A) $I=\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta$

(B) $I=\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^2\,dr\,d\theta$

(D) $I=\displaystyle 4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$

(E) $I\le 4\pi$

解答

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邊界是 $r=2\cos\theta$ ，故

I=\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{4}.

因此 (A)–(D) 的區域、界限或值皆不符； $I=3\pi/4\le4\pi$ ，所以答案為 $\boxed{\text{(E)}}$ 。