微積分福音

100 台灣大學微積分(B) 第 8 題

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100學年度 · 100台大微積分B · 第 8 題

題目

Problem

二、計算題：必須有計算過程，才予以計分。

試在 2 與 18 之間插入 3 個實數 $2<x<y<z<18$ 使得 $u=\frac{(x-2)(y-x)(z-y)(18-z)}{xyz}$ 之值最大。 $(15\%)$

解答

解法一

思路

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最大值在開區域內時，對 $\ln u$ 分別微分會把乘積商式化成三個容易遞推的方程。
邊界上 $u=0$ ，所以找到的正內部臨界點即給出全域最大值。

答題過程

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令 $L=\ln u$ 。由 $L_x=L_y=L_z=0$ ，依序得到

y=\frac{x^2}{2},\qquad z=\frac{x^3}{4},\qquad18-z=\frac{x^3(x-2)}8.

最後一式代入 $z=x^3/4$ 後，化為 $x^4=144$ 。由 $2<x<y<z<18$ ，取正根：

\boxed{x=2\sqrt3,\qquad y=6,\qquad z=6\sqrt3}.

此時

\boxed{u_{\max}=56-32\sqrt3}.