微積分福音

100 台灣大學微積分(B) 第 5 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

100學年度 · 100台大微積分B · 第 5 題

題目

5. 設

K

為 4 個平面

x=0

、

y=0

、

z=0

、

x+y+z=1

所圍成的四面體，試求積分

\iiint_K \frac{12}{(1+x+y+z)^4}\,dV=\underline{\quad(5)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

被積函數只依賴 $s=x+y+z$ 。固定 $s$ 時，第一卦限截面是面積 $s^2/2$ 的直角三角形，可降成一元積分。

答題過程

展開

在 $0\le s\le1$ ，截面 $x+y+z=s$ 的投影面積為 $s^2/2$ ，所以

\begin{align*} \iiint_K\frac{12}{(1+x+y+z)^4}\,\mathrm{d}V =&\,6\int_0^1\frac{s^2}{(1+s)^4}\,\mathrm{d}s\\[4mm] =&\,6\int_1^2\left(\frac1{w^2}-\frac2{w^3}+\frac1{w^4}\right)\,\mathrm{d}w =\boxed{\frac14}. \end{align*}