題目

9. 設

C:\begin{cases} x=6\cos t\\ y=6\sin t \end{cases} \qquad \text{其中 } 0\le t\le 2\pi

為一曲線。

試求線積分

\oint_C (e^x y-y^3)\,dx+(e^x+x^3)\,dy.

$(15\%)$

解答

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取

P=e^xy-y^3,\qquad Q=e^x+x^3.

參數 $0\le t\le2\pi$ 給出逆時針方向。由 Green 定理，

\begin{align*} \oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =&\,\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,\iint_D 3(x^2+y^2)\,\mathrm{d}A. \end{align*}

其中 $D$ 是半徑 $6$ 的圓盤。改用極坐標：

\begin{align*} \iint_D3(x^2+y^2)\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^6 3r^2\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,1944\pi. \end{align*}

故所求線積分為 $\boxed{1944\pi}$ 。