題目 7. 設 f(x)=∫2xx2+1t2t2+9 dt.f(x)=\int_{2x}^{x^2+1}\frac{t^2}{\sqrt{t^2+9}}\,dt.f(x)=∫2xx2+1t2+9t2dt. 試求導數 f′(2)=(7)‾f'(2)=\underline{\quad(7)\quad}f′(2)=(7)。 解答 解法一 思路 展開 上、下限都含 xxx，使用微積分基本定理搭配鏈鎖規則。 代入 x=2x=2x=2 前，先分別算出兩個端點與它們的導數。 答題過程 展開 令 g(t)=t2/t2+9g(t)=t^2/\sqrt{t^2+9}g(t)=t2/t2+9。由變上、下限積分的微分法則， f′(x)=g(x2+1)⋅2x−g(2x)⋅2.f'(x)=g(x^2+1)\cdot2x-g(2x)\cdot2.f′(x)=g(x2+1)⋅2x−g(2x)⋅2. 代入 x=2x=2x=2 時，上限為 555、下限為 444，因此 f′(2)= 2534⋅4−165⋅2= 10034−325.\begin{align*} f'(2) =&\,\frac{25}{\sqrt{34}}\cdot4-\frac{16}{5}\cdot2\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{100}{\sqrt{34}}-\frac{32}{5}}. \end{align*}f′(2)==3425⋅4−516⋅234100−532.
