微積分福音

99 台灣大學微積分(B) 第 4 題

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99學年度 · 99台大微積分B · 第 4 題

題目

4. 設

D

為拋物線

y=4x-x^2

與直線

y=mx

所圍成的區域，其中

m<2

。若直線

x=k

將

D

分割成面積相等的兩部分，則

k=\underline{\quad(4)\quad}

。

解答

解法一

思路

展開

兩條曲線相交於 $x=0$ 與 $x=4-m$ ，兩曲線之間的高度是二次式。
令直線左側面積等於總面積一半，再解出位於區間內的根。

答題過程

展開

設 $a=4-m$ 。由 $m<2$ 可知 $a>0$ ，且區域的 $x$ 範圍為 $[0,a]$ 。在此範圍內，高度為

(4x-x^2)-mx=x(a-x).

總面積為

\int_0^a x(a-x)\,\mathrm{d}x=\frac{a^3}{6}.

因此 $k$ 應滿足

\int_0^k x(a-x)\,\mathrm{d}x=\frac{a^3}{12}.

令 $u=k/a$ ，化簡為

\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}=\frac1{12} \quad\Longleftrightarrow\quad 4u^3-6u^2+1=0.

其中 $u=\frac12$ ，其餘兩根不在 $[0,1]$ 。故

\boxed{k=\frac a2=\frac{4-m}{2}}.