題目 Problem 一、填充題：請標明題號及格號，並依序作答。共 7 格，每格 10 分，計 70 分。 試求極限 limt→−∞t2+2t+7−t2−2t+5=(1)‾.\lim_{t\to -\infty}\sqrt{t^2+2t+7}-\sqrt{t^2-2t+5}=\underline{\quad(1)\quad}.t→−∞limt2+2t+7−t2−2t+5=(1). 解答 解法一 思路 展開 根式相減時先有理化，避免直接把兩個無窮大的量相減。 注意 t→−∞t\to-\inftyt→−∞，所以 t2=∣t∣=−t\sqrt{t^2}=|t|=-tt2=∣t∣=−t。 答題過程 展開 將分子有理化： t2+2t+7−t2−2t+5= 4t+2t2+2t+7+t2−2t+5.\begin{align*} &\,\sqrt{t^2+2t+7}-\sqrt{t^2-2t+5}\\[4mm] =&\,\frac{4t+2}{\sqrt{t^2+2t+7}+\sqrt{t^2-2t+5}}. \end{align*}=t2+2t+7−t2−2t+5t2+2t+7+t2−2t+54t+2. 分子、分母同除以 −t>0-t>0−t>0，得 limt→−∞−4−2/t1+2/t+7/t2+1−2/t+5/t2=−2.\lim_{t\to-\infty} \frac{-4-2/t}{\sqrt{1+2/t+7/t^2}+\sqrt{1-2/t+5/t^2}}=-2.t→−∞lim1+2/t+7/t2+1−2/t+5/t2−4−2/t=−2. 所以填入 −2\boxed{-2}−2。
