CalcGospel 微積分福音
返回

98 台灣大學微積分(C) 第 7 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

98學年度 · 98台大微積分C · 第 7 題

題目

Problem

VII. Find the area of the region enclosed by the following:

(a) (5%)(5\%)

r=2acos⁡θ,a>0.r=2a\cos\theta,\quad a>0.

(b) (10%)(10\%)

r=2(1+cos⁡θ).r=2(1+\cos\theta).

解答

解法一

思路

展開
  • 使用極坐標面積公式 A=12∫r2 dθA=\frac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta，並選取剛好描繪一次曲線的範圍。

答題過程

展開

(a) r=2acos⁡θr=2a\cos\theta 是半徑 aa 的圓，故面積為 πa2\boxed{\pi a^2}。

(b) 心臟線在 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi 描繪一次：

A= 12∫02π[2(1+cos⁡θ)]2 dθ= 2∫02π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ) dθ= 6π.\begin{align*} A =&\,\frac12\int_0^{2\pi}\big[2(1+\cos\theta)\big]^2\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{6\pi}. \end{align*}