題目 Problem (5) 級數 ∑n=3∞[(2−23)(23−24)⋯(2n−2n+1)]\sum_{n=3}^{\infty}\left[(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2}-\sqrt[4]{2})\cdots(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2})\right]n=3∑∞[(2−32)(32−42)⋯(n2−n+12)] 是收斂或發散數？答：(5)‾\underline{\quad(5)\quad}(5)。 解答 解法一 答題過程 展開 由均值定理，21/k−21/(k+1)=O(k−2)2^{1/k}-2^{1/(k+1)}=O(k^{-2})21/k−21/(k+1)=O(k−2)。第 nnn 項是從 k=2k=2k=2 到 nnn 的乘積，因而遠小於幾何級數的項；所以此正項級數 收斂\boxed{\text{收斂}}收斂。
