題目 Problem (4) 若瑕積分 ∫2∞(ax2−1−xx2+1) dx\int_{\sqrt{2}}^\infty \left(\frac{a}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{x}{x^2+1}\right)\,dx∫2∞(x2−1a−x2+1x)dx 收斂，則 a=(4a)‾a=\underline{\quad(4a)\quad}a=(4a)，且此時的積分值為 (4b)‾\underline{\quad(4b)\quad}(4b)。 解答 解法一 答題過程 展開 被積函數在無窮遠的主項為 (a−1)/x(a-1)/x(a−1)/x，故收斂必須 a=1a=1a=1。此時原函數的一個原始函數為 arcoshx−12ln(x2+1).\operatorname{arcosh}x-\frac12\ln(x^2+1).arcoshx−21ln(x2+1). 上限極限為 ln2\ln2ln2，故積分值為 ln231+2.\boxed{\ln\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt2}}.ln1+223.
