微積分福音

96 台灣大學微積分(C) 第 8 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

96學年度 · 96台大微積分C · 第 8 題

題目

8. 若

D

落在第一象限且由

xy=1

，

y=x

，和

y=2

所圍成的區域，則

\iint_D \frac{y^2}{x^2}\,dA=\underline{\quad\quad}。

解答

解法一

思路

展開

對固定的 $x$ ，下界是 $y=1/x$ 與 $y=x$ 較大的那一條。
兩條曲線在 $x=1$ 相交，所以需要在 $x=1$ 分割積分區域。

答題過程

展開

由 $y=2$ 與 $xy=1$ 的交點得 $x=\frac12$ ；由 $y=2$ 與 $y=x$ 的交點得 $x=2$ 。因此

D=\left\{\frac12\le x\le1,\ \frac1x\le y\le2\right\} \cup\left\{1\le x\le2,\ x\le y\le2\right\}.

所以

\begin{align*} \iint_D\frac{y^2}{x^2}\,\mathrm{d}A =&\,\int_{1/2}^1\int_{1/x}^{2}\frac{y^2}{x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x +\int_1^2\int_x^{2}\frac{y^2}{x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_{1/2}^1\left(\frac{8}{3x^2}-\frac{1}{3x^5}\right)\,\mathrm{d}x +\int_1^2\left(\frac{8}{3x^2}-\frac{x}{3}\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{17}{12}+\frac56 =\boxed{\frac94}. \end{align*}