題目
7. 點在
x+y+z=35 之上，
f(x,y,z)=y+xz−2x2−y2−z2 的最大值是
。
解答
解法一
思路
展開
- 約束是一個平面，可先以 z=35−x−y 消去一個變數。
- 得到的二次函數 Hessian 為負定，故其唯一臨界點就是全域最大點。
答題過程
展開
由 x+y+z=35，令 z=35−x−y。代入後
f(x,y)=y+x(35−x−y)−2x2−y2−(35−x−y)2.
求偏導：
fx=105−8x−3y,fy=71−3x−4y.
令兩式為零，得
x=9,y=11,z=35−9−11=15.
而二階導數矩陣為
(−8−3−3−4),
其第一個主子式為負、行列式為正，故為負定矩陣。此點給出最大值：
f(9,11,15)=−362.
