題目 5. 當 x≠0x\ne 0x=0 時， f(x)=2x−sin2xx3；f(x)=\frac{2x-\sin 2x}{x^3}；f(x)=x32x−sin2x； x=0x=0x=0 時，f(x)=43f(x)=\dfrac{4}{3}f(x)=34。問 f′(0)=‾f'(0)=\underline{\quad\quad}f′(0)=。 解答 解法一 思路 展開 x=0x=0x=0 的函數值另外定義，要求導數時要比較 f(x)f(x)f(x) 與 f(0)f(0)f(0)。 用 sin2x\sin 2xsin2x 的泰勒展開可直接看出差商的極限。 答題過程 展開 在 x=0x=0x=0 附近， sin2x=2x−(2x)33!+(2x)55!+更高次項=2x−43x3+415x5+更高次項.\sin2x=2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}+\text{更高次項} =2x-\frac43x^3+\frac4{15}x^5+\text{更高次項}.sin2x=2x−3!(2x)3+5!(2x)5+更高次項=2x−34x3+154x5+更高次項. 所以當 x≠0x\ne0x=0 時， f(x)=43−415x2+更高次項.f(x)=\frac43-\frac4{15}x^2+\text{更高次項}.f(x)=34−154x2+更高次項. 因此 f′(0)= limx→0f(x)−f(0)x= limx→0(−415x+更高次項)=0.\begin{align*} f'(0) =&\,\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\left(-\frac4{15}x+\text{更高次項}\right) =\boxed{0}. \end{align*}f′(0)==x→0limxf(x)−f(0)x→0lim(−154x+更高次項)=0.
