題目 4. 函數 y=xx−1y=x^{x-1}y=xx−1 在 (2,2)(2,2)(2,2) 的切線方程式為 ‾\underline{\quad\quad}。 解答 解法一 思路 展開 指數與底數都含 xxx，先取自然對數，把冪次移到前面。 求出 x=2x=2x=2 的函數值與斜率後，使用點斜式寫切線。 答題過程 展開 先取對數： lny=(x−1)lnx.\ln y=(x-1)\ln x.lny=(x−1)lnx. 兩邊微分後得到 1ydydx=lnx+x−1x.\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\ln x+\frac{x-1}{x}.y1dxdy=lnx+xx−1. 因而 dydx=y(lnx+x−1x).\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =y\left(\ln x+\frac{x-1}{x}\right).dxdy=y(lnx+xx−1). 在 x=2x=2x=2 時，y=22−1=2y=2^{2-1}=2y=22−1=2，故切線斜率為 2ln2+12\ln2+12ln2+1。所求切線是 y−2=(2ln2+1)(x−2).\boxed{y-2=(2\ln2+1)(x-2)}.y−2=(2ln2+1)(x−2).
