題目

Problem

一、填充題：每題 8 分。

一穀倉有一個圓柱狀的牆和一個半球狀的屋頂。假如容積一定，而要有最小的表面積，問這穀倉的高度跟底部半徑的比是 $\underline{\quad\quad}$ 。

解答

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設圓柱牆高為 $h$ 、底半徑為 $r$ 。穀倉的容積和外表面積分別為

V=\pi r^2h+\frac23\pi r^3, \qquad S=2\pi rh+3\pi r^2.

由容積固定可得

h=\frac{V}{\pi r^2}-\frac23r.

代入表面積：

S(r)=\frac{2V}{r}+\frac53\pi r^2.

因此

S'(r)=-\frac{2V}{r^2}+\frac{10}{3}\pi r.

令 $S'(r)=0$ ，便有 $V=\frac53\pi r^3$ 。代回容積式，得到 $h=r$ 。

圓柱加半球屋頂的總高度為 $h+r=2r$ ，所以所求比為

\boxed{2:1}.