題目 8. 設 S:x2+y2+z2=9S:x^2+y^2+z^2=9S:x2+y2+z2=9，則向量場 F(x,y,z)=x2y i+(2y+z2) j+(3z−2xyz) k\mathbf{F}(x,y,z)=x^2y\,\mathbf{i}+(2y+z^2)\,\mathbf{j}+(3z-2xyz)\,\mathbf{k}F(x,y,z)=x2yi+(2y+z2)j+(3z−2xyz)k 流出的 SSS 的通量（flux）為 ‾\underline{\quad\quad}。 解答 解法一 思路 展開 SSS 是閉球面，使用散度定理計算外向通量。 答題過程 展開 ∇⋅F=2xy+2+3=2xy+5.\nabla\cdot\mathbf F=2xy+2+3=2xy+5.∇⋅F=2xy+2+3=2xy+5. 半徑 333 的球對稱，故 ∭Bxy dV=0\iiint_Bxy\,\mathrm{d}V=0∭BxydV=0。由散度定理， ∬SF⋅n dS=5Vol(B)=5⋅43π(3)3=180π.\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,\mathrm{d}S =5\operatorname{Vol}(B) =5\cdot\frac43\pi(3)^3 =\boxed{180\pi}.∬SF⋅ndS=5Vol(B)=5⋅34π(3)3=180π.
