題目 7. 設 f(x)=x2ln(1+2x)f(x)=x^2\ln(1+2x)f(x)=x2ln(1+2x)，則第 999 階導數 f(9)(0)=‾f^{(9)}(0)=\underline{\quad\quad}f(9)(0)=。 解答 解法一 思路 展開 用 ln(1+2x)\ln(1+2x)ln(1+2x) 的冪級數找出 x9x^9x9 的係數，再乘上 9!9!9!。 答題過程 展開 ln(1+2x)=∑n=1∞(−1)n+12nnxn.\ln(1+2x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}2^n}{n}x^n.ln(1+2x)=n=1∑∞n(−1)n+12nxn. 故 f(x)=x2ln(1+2x)f(x)=x^2\ln(1+2x)f(x)=x2ln(1+2x) 的 x9x^9x9 係數取自 n=7n=7n=7，為 277\frac{2^7}{7}727。所以 f(9)(0)=9!⋅277.\boxed{f^{(9)}(0)=9!\cdot\frac{2^7}{7}}. f(9)(0)=9!⋅727.
