題目 6. ∫−11∫x1x3siny3 dy dx=‾。\int_{-1}^{1}\int_x^{1}x^3\sin y^3\,dy\,dx=\underline{\quad\quad}。∫−11∫x1x3siny3dydx=。 解答 解法一 思路 展開 將 xxx 與 −x-x−x 的積分配對；內積分之差是奇函數 siny3\sin y^3siny3 在對稱區間的積分。 答題過程 展開 令 A(x)=∫x1siny3 dyA(x)=\int_x^1\sin y^3\,\mathrm{d}yA(x)=∫x1siny3dy。配對後，原積分為 ∫01x3(A(x)−A(−x)) dx.\int_0^1 x^3\big(A(x)-A(-x)\big)\,\mathrm{d}x.∫01x3(A(x)−A(−x))dx. 但 A(x)−A(−x)=−∫−xxsiny3 dy=0.A(x)-A(-x)=-\int_{-x}^x\sin y^3\,\mathrm{d}y=0.A(x)−A(−x)=−∫−xxsiny3dy=0. 故原積分為 0\boxed00。
