題目 4. 問使級數 ∑n=1∞nxn(n+1)(2x+1)n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n+1)(2x+1)^n}n=1∑∞(n+1)(2x+1)nnxn 絕對收斂的 xxx 的範圍從 ‾\underline{\quad\quad} 或 ‾\underline{\quad\quad}。 解答 解法一 思路 展開 多項式因子不影響根值審斂法的指數極限，只要檢查幾何比 ∣x/(2x+1)∣\big|x/(2x+1)\big|x/(2x+1)。 答題過程 展開 絕對收斂條件為 ∣x2x+1∣<1.\left|\frac{x}{2x+1}\right|<1.2x+1x<1. 等價於 (x+1)(3x+1)>0.\qquad (x+1)(3x+1)>0.(x+1)(3x+1)>0. 所以範圍為 x<−1或x>−13.\boxed{x<-1\quad\text{或}\quad x>-\frac13}. x<−1或x>−31.
