題目 3. 問 ∫1∞lnxxn dx\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^n}\,dx∫1∞xnlnxdx 在 nnn 的範圍為 ‾\underline{\quad\quad} 時收斂，此時這積分值 =‾=\underline{\quad\quad}=。 解答 解法一 思路 展開 以分部積分求瑕積分，邊界項只有在 n>1n>1n>1 時趨於零。 答題過程 展開 當 n>1n>1n>1 時，分部積分可得 ∫1∞lnxxn dx=1n−1∫1∞x−n dx=1(n−1)2.\int_1^\infty\frac{\ln x}{x^n}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{n-1}\int_1^\infty x^{-n}\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac1{(n-1)^2}}.∫1∞xnlnxdx=n−11∫1∞x−ndx=(n−1)21. 若 n≤1n\le1n≤1，積分發散。因此收斂範圍為 n>1\boxed{n>1}n>1。
