題目 7. 求冪級數 ∑n=0∞xnn+1\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}n=0∑∞n+1xn 的收斂區間。 解答 解法一 思路 展開 先用根值審斂法得到半徑。 再分別代入兩個端點，判定端點是否收斂。 答題過程 展開 令 an=xnn+1a_n=\frac{x^n}{n+1}an=n+1xn，則 limn→∞∣an∣n=∣x∣.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|x|.n→∞limn∣an∣=∣x∣. 故 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 時絕對收斂。端點分別為 x=1: ∑1n+1 發散;x=−1: ∑(−1)nn+1 收斂.x=1:\ \sum\frac1{n+1}\text{ 發散};\qquad x=-1:\ \sum\frac{(-1)^n}{n+1}\text{ 收斂}.x=1: ∑n+11 發散;x=−1: ∑n+1(−1)n 收斂. 故收斂區間為 [−1,1).\boxed{[-1,1)}. [−1,1).
