題目 6. 求瑕積分 ∫−∞∞e−x2 dx。\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx。∫−∞∞e−x2dx。 解答 解法一 思路 展開 單一高斯積分沒有初等反導函數，先設積分為 III 並平方。 二重積分改用極座標，便可算出 I2I^2I2。 答題過程 展開 設 I=∫−∞∞e−x2 dx.I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x.I=∫−∞∞e−x2dx. 因被積分式為正，平方後可改寫成平面上的二重積分： I2= ∬R2e−(x2+y2) dA= ∫02π∫0∞e−r2r dr dθ=π.\begin{align*} I^2 =&\,\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\pi. \end{align*}I2==∬R2e−(x2+y2)dA∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=π. 取正值，故 ∫−∞∞e−x2 dx=π.\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt\pi}.∫−∞∞e−x2dx=π.
